PAYLAŞ

Ünlü matematikçi Fibonacci, google’de hiç bu kadar çok aranmamıştır herhalde. 8.sınıf matematik dersinde özel sayı dizileri konusunda geçn Fibonacci sayı dizisinin, proje ve performans ödevi olarak öğrencilere verilmesi, Türkiye’de Fibonacci’nin ününe ün katmış gibi gözüküyor.

Sizler için Fibonacci ve dizisi hakkında 4yazı derledik…

1.yazı

Fibonacci,ya da daha doğrusu Leonardo da Pisa, İ.S. 1175 de İtalya’nın Pisa kentinde doğdu. Babası Kuzey Afrika’da gümrük memurluğu da yapmış bir tüccardı. Cezayir, Mısır ,Suriye ,Yunanistan ve Sicilya’ya iş yolculukları yaptı. 1200 yılında Pisa’ya geri döndü ve yolculukları sırasında edindiği bilgilerini kullanarak Avrupa’ya onlu sayı sistemini tanıttığı “Liber Abaci” yi (Hesap Kitabı) yazdı. Bölüm 1’in ilk kısmı şöyle başlamaktaydı : Bunlar Hintlilerin dokuz rakamıdır : 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Bunlar ve arapların ‘zephirum’ dedikleri 0 işareti ile birlikte her sayı yazılabilmektedir.

Kök Bulma

Fibonacci oldukça dikkate değer bir hesaplama yeteneğine sahipti. Aşağıda verilen kübik eşitliğin pozitif çözümünü bulabilmişti :  Asıl dikkate değer olan ise tüm çalışmalarını 60 tabanını kullanan Babil Sistemi ile yapması idi. Çözümü 1,22,7,42,33,4,40 olarak vermişti. Bu ise   ifadesine eşitti. Bu sonucu nasıl elde ettiği bilinmemektedir, fakat böyle kesin bir sonucu başka matematikçiler bulmadan 300 yıl önce bulmuştu. Fibonacci Dizisi Fibonacci günümüzde daha çok ‘Liber Abaci’ adlı eserinde tanıttığı ve sonradan onun adıyla anılmaya başlanan Fibonacci Sayıları ile tanınmaktadır. Dizi 1 ve 1 ile başlar. Ardından şu basit kural uygulanır :               “Bir sonraki sayıyı bulmak için son iki sayıyı topla.” 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,… Bu dizinin neden ortaya çıktığı merak edilebilir. Fibonacci’nin zamanında matematik yarışmaları oldukça yaygındı. Fibonacci 1225 yılında Kral 2. Frederick’ in düzenlediği bir turnuvaya katılmıştı. İşte bu tarz bir yarışmada aşağıdaki problem ortaya çıktı : Tek bir çift tavşan ile başlayarak her ay üretken çift, yeni bir tavşan çifti oluşturursa ve yeni tavşanlar bir ay sonra üretken oluyorsa, ‘n’ ay sonra toplam kaç tavşan olur?         (Sorunun cevabı yazının sonundadır.) Altın Bölüm Fibonacci serisi ile yakından ilgili özel bir değer de ‘altın bölüm’ dür. Bu değer serideki ardışık terimlerin birbirine oranı ile elde edilir :   Fibonacci serisi ile yakından ilgili özel bir değer de ‘altın bölüm’ dür. Bu değer serideki ardışık terimlerin birbirine oranı ile elde edilir :  Şekilde görüldüğü gibi bu oran bir değere yakınsamaktadır. Aslında bu değer ikinci dereceden bir eşitliğin (aşağıda gösteriliyor) pozitif köküdür ve altın bölüm, altın oran ya da bazen altın anlam olarak adlandırılmaktadır.   Altın bölüm Yunan harfi ‘phi’ ile sembolize edilir. Aslında, Plato zamanının (İ.Ö. 400) matematikçileri onu anlam taşıyan bir değer olarak kabul ediyorlardı ve yunanlı mimarlar 1/phi oranını tasarımlarının ayrılmaz bir parçası olarak kullanıyorlardı. Bu mimari yapılardan en ünlüsü Atina’daki Parthenon’dur.  Parthenon, Atina Tavşan Probleminin Çözümü : Farz edelim ki ‘n’ ay sonra Xn çift tavşan olsun. ‘n+1’.aydaki tavşan çifti sayısı (problemde tavşanların ölmediği kabul edilmektedir) yeni doğan tavşan çiftleri ve Xn nin toplamı kadardır. Fakat yeni çiftler, en az bir aylık çiftler tarafından doğrulacağından toplam tavşan çifti sayısı xn+1 = xn + xn-1olarak hesaplanır. Bu ifade ise aslında Fibonacci sayılarının üretilmesinde kullanılan kuraldır.

2.yazı

8. Sınıf öğrencileri, Matematik dersi performans görevi için orta çağın en yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci’nin hayatını, matematiğe katkılarını, Fibonacci dizisi ile birlikte, doğa ve matematik arasındaki ilişkiyi incelediler.

Özellikle doğada rastlanan Fibonacci sayıları, bitki yaprakları, bitki tohumları, çiçek yaprakları ve kozalaklarda sıkça karşımıza çıkmaktadır. Bu sayılara Pascal veya Binom üçgeninde, Mimar Sinan’ın eserlerinde, Da Vinci’nin resimlerinde de rastlanmaktadır. Da Vinci’nin yapıtında, Mona Lisa’nın başı etrafına bir dörtgen çizildiğinde, sağlanan dörtgen altın orana uymakta olup resmin boyutları da altın oranı vermektedir. Tütün bitkisi yapraklarının dizilişindeki Fibonacci dizisi ise, bitkinin güneşten ve havadaki karbondioksitten optimum düzeyde faydalanmasını sağlayarak, yüksek düzeyde fotosentez yapmasına olanak verir. Bu özellik eğrelti otunda da gözlemlenmektedir. Ayçiçeğinin üstündeki spiral şeklinde dizilmiş tohumları saat yönünde ve tersi yönde saydığımızda ardışık iki Fibonacci sayısına ulaşırız. Papatya çiçeğinde de aynı Fibonacci dizisi gözlenmektedir. Kubbe ve kule tasarımları içeren ve genellikle eski çağlara ait mimari eserlerde de Fibonacci dizisi gözlemlenir. Mimar Sinan’ın yapmış olduğu Selimiye ve Süleymaniye camilerinin, kubbe ve minarelerinde altın oran gözlenmektedir.

3.yazı

İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci’nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?

        İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun. Matematik problemlerinde bu yavruların anasız babasız nasıl büyütülecekleri konusuna pek girilmez. İkinci ayda bu tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek pek bir yere varamayacağız galiba. Düşünsenize 100.aya kadar hesabı böyle götürmemiz mümkün mü? Örneğin 100.ayda kaç tavşanımız olacağını doğrudan hesaplamaya çalışalım. 99.ayda kaç tavşanımız varsa onların hepsi 100. ayda da olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak. Yavrulayacak olanların en az iki aylık olması gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak olanlar 98.ayda sahip olduğumuz tavşanların hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tav-şan sayısını bulmak için 98.aydaki tavşan sayısıyla 99.aydaki tavşan sayısını toplamak gerekiyor.

        Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz sadece 100. aydaki sayıyı merak ediyorduk. Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99. aylardaki sayıyı bulmamız gerekecek. Bu hesabı 100. ayda değil de üçüncü aydan itibaren yapalım. Birinci ve ikinci aylarda birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü ay iki çift tavşanımız olacak. İkinci aydaki bir çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplarsak dördüncü ay üç çifti bulacağız.

        Buna göre Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:

            F1 = 1

            F2 = 1

            Fn = Fn-1 + Fn-2 ,  n>2

        Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç tanesi şöyle sıralanır:

        1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946…

        Bu arada unutmadan 100.ayda kaç çift tavşanı olacak sorusunun cevabı da şöyle:

F100 = 354 224 848 179 261 915 075

4.yazı

Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa’nın en önde gelen Matematikçisidir. Fibonacci için, “Matematik’i Araplar’dan alıp, Avrupa’ya aktaran kişi” denilebilir.

Fibonacci’nin yaşamı hakkında matematik yazıları dışında pek az şey biliniyor. İlk ve en iyi bilinen kitabı Liber Abaci‘nin yazıldığı 1202 tarihine bakılırsa, 1170 dolayında doğmuş olabileceği sanılıyor. Bu yönde pek kanıt olmamakla birlikte İtalya’nın Pisa kentinde doğmuş olması olasılığı var. Fibonacci henüz çocuk yaştayken, Pisa’lı bir tüccar olan babası Guglielmo, Pisalı tüccarların yaşadığı Bugia adlı Kuzey Afrika limanına Konsül olarak atanır. (Bu liman, şimdiki Bejaya’dır ve Cezayir’dedir.) Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar. Fibonacci daha sonra Liber Abaci’de hocasından “Dokuz Hint Rakamının Sanatını” öğrenirken duyduğu mutluluğu anlatacaktır.

Fibonacci’nin Liber Abaci adlı kitabının yayınlandığı yıllarda, Hindu-Arap sayıları, Avrupa’da Harzemli Muhammed Bin Musa’nın eserlerinin çevirilerini okuyabilmiş bir kaç “aydın” dışında bilinmiyordu. Fibonacci, kitabında bu rakamları anlatmaya şöyle başlar: “Dokuz Hint Rakamı 9 8 7 6 5 4 3 2 1 dir. Bu dokuz rakama “0” işaretinin de eklenmesiyle, her hangi bir sayı yazılabilir.”

Liber Abaci, 13.yy. Avrupasında büyük ilgi görür, çok sayıda kopya edilir ve kilisenin yasaklamasına karşın Arap sayıları İtalyan tüccarlar arasında yayılır. Kitap Kutsal Roma İmparatoru II. Frderick’in dikkatini çeker. Frederick bilime düşkün bir imparatordur. Bilim adamlarını korur. Bu nedenle kendisine Stupor Mudi (Dünya Harikası) denilmektedir. 1220 yılında Fibonacci huzura çağrılır. Frderick’in bilim adamlarından biri tarafından sınava çekilir. Sonunda Fibonacci göze girer. Yıllarca hem imparatorla, hem de imparatorun dostlarıyla yazışır. 1225 yılında yazdığı Liber Quadratornum‘u (Kare Sayıların Kitabı) imparatora ithaf eder. “Diyofantus Denklemleri“ne ayrılan bu kitap Fibonacci’nin baş yapıtıdır. Her ne kadar Liber Abaci’ye çok daha dar bir çevrenin ilgisini çekerse de kitap sayılar kuramına büyük katkı getirir.

1228’de Fibonacci, Liber Abaci’yi yeniden gözden geçirir ve kitabın bu ikinci yazılımını imparatorun baş bilimcisi Michael Socott’a ithaf eder. Bu tarihten 1240 yılına kadar Fibonacci hakkında hiç bir şey bilinmiyor. 1240’ta Pisa kenti kendisine kente yaptığı hizmetlerden dolayı “20 Pisa Lirası” yıllık bağlar. Bundan sonra Matematikçimiz ne kadar yaşadı, o da bilinmiyor.

Leonardo Fibonacci, Arap Matematik’ini kullanışlı Hindu-Arap sayılarını Batı’ya tanıtmakla çok büyük bir katkıda bulundu. Ancak ilginçtir, çağımız matematikçileri Fibonacci’nin adını. daha çok, Liber Abaci’de yer alan bir problemde ortaya çıkan bir sayı dizisi nedeniyle bilirler. Dolayısıyla Fibonacci’yi anlatan bir yazıda “Fibonacci Sayıları“ndan ya da “Fibonacci Dizisi“nden söz etmemek olmaz.Bu nedenle biz de bu bölümün geri kalan kesimini bu diziye ayıracağız…

 PEKİ YA NEDİR BU FIBONACCI DİZİSİ?

Liber Abaci’de yer alan problemin metni aşağı yukarı şöyle;

“Adamın biri, dört bir yanı duvarla çevrili yere bir çift tavşan koymuş. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan peydahladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği var sayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?”

Knuth dostumuza göre, Fibonacci bu problemi kitabına biyoloji biliminde bir uygulama olsun diye ya da nüfus patlaması sorununa bir çözüm getirsin diye koymamış (Ben de aynı kanıdayım…). Toplama alıştırması olarak düşünmüş bunu, besbelli. Her neyse biraz düşününce tavşan çiftlerinin aylara göre şöyle çoğalacağı ortaya çıkıyor:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

Yani her ay sonundaki tavşan çifti sayısı o aydan hemen önceki iki aydaki sayıların toplamına eşit.

Neyse her halde sorumuzun cevabını merak ediyorsunuz… Alın size cevap… Bakın bakalım, kaç tavşan oluşurmuş 100 ayda???

CEVAP —>>> 354.224.848.179.261.915.075 TANE TAVŞAN OLUŞUR….

 FIBONACCI DİZİSİ (BİRAZ DAHA CEBİRSEL)

*** Fibonacci Dizisi’nin özelliği şu; Fibonacci Dizisindeki bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir.

FIBONACCI DİZİSİ’ni yazalım…

…………….1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144………….

Görüldüğü gibi bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Mesela;

1+1=2  2+3=5  3+5=8   5+8=13 8+13=21  13+21=34 ……… 89+144=233 gibi.

İsterseniz bir de bu Fibonacci Dizisinin Formülünü Yazalım:::

FIBONACCI DİZİSİNİN GÖRÜLDÜĞÜ VE KULLANILDIĞI YERLER:

1) Ayçiçeği: Ayçiçeği’nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur.

3) Fibonacci Dizisinin Fark Dizisi: Fibonacci Dizisindeki ardışık terimlerin farkıyla oluşan dizi de Fibonacci Dizisidir.

4) Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar.

5) Tavşan: Zaten sorumuz tavşanla alakalı…

6) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi’nin ardışık terimleridir.

7) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolayı tütün bitkisi Güneş’ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde Karbondioksit alarak Fotosentez’i mükemmel bir şekilde gerçekleştirir.

8) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu’nda da vardır.

9) MİMAR SİNAN: Mimar Sinan’ın da bir çok eserinde Fibonacci Dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri’nin minarelerinde bu dizi mevcuttur.

  • kübra

    Peki onun döneminde yaşamış olan matematikçiler? ve onun döneminde bilim ve teknik ne durumdaydı? Yardımcı olursanız çok sevinirim :)